Primitives et intégrales

(En construction) Sur cette page, une liste de primitives courantes est proposée, ainsi que les procédures permettant de les trouver. D'un point de vue scolaire, ce sont des primitives qu'on trouvera typiquement dans les exercices et examens de fin de secondaire et début de bachelor en mathématiques. On ne traite ici que de fonctions réelles.

Quelques théorèmes importants

On va commencer par revoir quelques théorèmes importants, laissés ici sans démonstration (sauf les corolaires vu qu'ils sont simples et ne dépendent pas vraiment de la manière dont le lecteur a conceptualisé la notion d'intégrales). Des démonstrations peuvent être trouvées sans problème dans d'autres pages web ou des ouvrages d'analyse.

Linéarité de l'intégration

Soient deux fonctions f et g intégrables sur l'intervalle ab et un nombre réel c. On a :

Théorème fondamental de l'analyse

Il s'agit d'un théorème reliant deux notions n'ayant apparamment rien à voir entre elles : les dérivées et les intégrales. Un énoncé possible est :

Soit f une fonction continue sur un intervalle ab et définissons F sur cet intervalle, telle que Fx=axftdt.

Alors sur cet intervalle, F est continuement dérivable (de classe C1) et F=f.

On dit que F est une primitive de f. Plus précisément, une primitive d'une fonction f est une fonction F telle que F=f. Symboliquement, on peut écrire cela pour dire que F est une primitive de f : F=f ou Fx=fxdx (même notation que pour l'intégrale, mais sans les bornes).

Corolaire 1

Deux primitives d'une fonction intégrable ne diffèrent que d'une constante.

On parle donc d'une primitive d'une fonction et non pas de la primitive de cette fonction, vu qu'il y en a une infinité.

Démonstration

Soient F1 et F2 deux primitives. Si on calcule la dérivée de leur différence, on a : F 1 - F 2 = F 1 - F 2 = f - f = 0

Par un des corolaires du théorème des accroissements finis, cette dérivée nulle montre bien que cette différence est une constante.

Corolaire 2

Soient une fonction f continue sur un intervalle ab et F une de ses primitives. Alors pour tout x dans cet intervalle,

a x f t dt = F x - F a

Ceci permet de ramener le calcul d'intégrales à la recherche de primitives, au lieu de devoir trouver des séries et découpages d'intervalles. On écrit souvent Fxax ou Fxax pour Fx-Fa.

Démonstration

Soit x dans cet intervalle. On sait par le théorème fondamental que axftdt est également une primitive de f, et donc ne diffère que d'une constante c de F. On peut donc écrire : axftdt=Fx-c. Il s'agit maintenant de trouver cette constante. Pour cela, choisissons x=a, ce qui nous permet de déduire que aaftdt=Fa-c=0, d'où c=Fa.

Corolaire 3 : linéarité des primitives

Comme pour les intégrales, on a aussi la linéarité des primitives :

Démonstration

Ceci découle directement du lien entre les dérivées et les primitives par le théorème fondamental et de la linéarité de la dérivée.

Méthodes d'intégration ou de calcul de primitives

Si trouver la dérivée d'une fonction quelconque est relativement simple, trouver des primitives n'est pas toujours évident. Il existe même beaucoup de fonctions dont les primitives ne peuvent pas s'exprimer d'une manière simple (par la composition, somme ou multiplication de fonctions élémentaires bien connues), et parfois, on leur donne des noms.

Ici, deux méthodes courantes pour calculer des intégrales ou des primitives seront exposées, et permettent de trouver des primitives de certaines fonctions quand elles ne sont pas évidentes. Il n'y a pas de règle systématique indiquant quelle méthode utiliser pour trouver une primitive d'une fonction donnée, et le seul moyen de s'améliorer à la recherche de primitives est de s'entrainer sur un grand nombre de fonctions pour s'habituer à reconnaitre quelle méthode devrait être utilisée.

Parfois, il faudra utiliser plusieurs fois une methode donnée, ou même les deux ensemble. Aussi, plus on connait de primitives, et plus on peut avoir de facilité d'en trouver pour de nouvelles fonctions, car parfois, elles reviennent dans les étapes de la recherche.

Par parties

Cette méthode permet en quelque sorte, quand elle fonctionne, d'échanger une intégrale contre une autre qui devrait être plus simple, suffisamment pour que sa dérivée soit évidente, ou bien que ce soit le cas après une ou plusieurs autres applications de cette méthode (ou de la méthode par substitution). Elle est en fait données par ces formules :

Soient f et g des fonctions continuement dérivables sur un intervalle ab. On a :

Un indice suggérant l'utilisation de la méthode par parties est le fait de voir un produit dans la fonction à intégrer : si un facteur est relativement simple à intégrer, et l'autre à dériver, et que dans les deux cas, on n'obtient pas quelque chose de plus compliqué, c'est souvent cette méthode qu'il faudra utiliser.

Démonstration

Ceci découle de la formule de la dérivée du produit fg : fg=fg+fgfg=fg-fg. En trouvant par le théorème fondamental et la linéarité les primitives des deux membres de l'équation, on obtient les formules de l'intégration par parties.

Exemples

Il ne suffit pas de connaitre la formule pour savoir utiliser la méthode. Voici un exemple en terme de primitives, et un autre pour le calcul d'intégrale, qui montrent comment utiliser cette méthode. Plus bas, les démonstrations de primitives peuvent également servir d'exemples.

Primitive

But : trouver une primitive de xex, soit xexdx.

Juste par les formules de dérivation, on ne peut pas trouver de manière évidente une telle primitive. Mais, on remarque dans un premier temps qu'il s'agit d'un produit de facteurs évidents x et ex ; on peut donc essayer d'utiliser l'intégration par parties. Le but est maintenant de choisir lequel intégrer et lequel dériver. Ceci revient à répondre aux questions respectives : qui est f et qui est g, dans la formule fg=fg-fg.

En analysant un peu ce cas, on se rend compte que le choix est complètement égal pour ex (vu qu'intégrer ou dériver ceci redonne ex), mais que dériver x est mieux que de l'intégrer, car on se retrouve alors avec 1 au lieu de x22. Donc, on choisit fx=ex et gx=x. Pour utiliser la formule, on a maintenant besoin de calculer f et g, ce qui est dans notre cas évident : fx=ex et gx=1. On peut donc maintenant simplement substituer toutes ces fonctions dans la formule : xexdx=xex-1exdx

On vient donc en quelque sorte d'échanger le calcul de xexdx par celui de exdx, qui est ici trivial. La primitive recherchée a donc la forme : xexdx=xex-ex+c=x-1ex+c

Pour être rigoureux, il faudrait mettre à chaque étape une constante. Mais en pratique, on ne la met qu'à la fin, vu que de toute manière, on n'aurait au pire juste qu'une somme ou soustraction de constantes, ce qui reste une constante.

Intégrale

But : calculer l'intégrale 01tt+1dt.

Le principe est vraiment le même que pour les primitives. On pourrait même simplement directement trouver une primitive, puis ensuite l'évaluer pour obtenir l'intégrale recherchée. Pour des raisons similaires à l'exemple précédent, on choisit ici fx=x+1 et gx=x, et on calcule : fx=23x+13 et gx=1. On peut donc utiliser la formule : 01tt+1dt=23tt+1301-01123t+13dt. À l'aide de la dérivée d'une composition de fonctions, on peut deviner une primitive de la dernière intégrale, et utiliser le corolaire 2 du théorème fondamental : 23tt+1301-415t+1501.

Il reste juste à évaluer ces fonctions, et cela donne après calculs : 2323-41525-1.

Par substitution

Aussi appelée « par changement de variable ».

Ici, la méthode est de remplacer une expression de la fonction à intégrer par une variable, en espérant obtenir à l'aide de cette substitution une autre intégrale connue ou plus simple. On a également les formules, mais il faut apprendre à les utiliser.

Soient I et J deux intervalles, φIJ une fonction continuement dérivable et fJ une fonction continue. Alors, pour tout a et b dans I, on a :

Démonstration

Ceci découle de la formule de la dérivée d'une composition de fonctions : soit F une primitive de f. On a : Fφx=fφxφx. En calculant l'intégrale des deux membres de l'équation, on obtient abfφtφtdt=abFφtdt, ce qui donne par le théorème fondamental Fφtab=Fuφaφb=φaφbfudu.

Exemples

Ici aussi, il ne faut pas juste connaitre la formule, mais aussi savoir l'utiliser. Comme avant, voici deux exemples simples pour le calcul d'une primitive et d'une intégrale. Les démonstrations plus bas peuvent également faire office d'exemples supplémentaires.

Démarche générale

En soi, la formule elle-même n'explique pas grand chose sur comment procéder concrètement. Cette marche à suivre peut aider à comprendre comment utiliser la méthode par substitution :

Primitive

On va prendre un exemple qu'on a en fait déjà vu : c'est l'avant dernière étape de l'exemple d'intégration pour la méthode par parties. En réalité, c'est une sorte d'intégration par substitution qui a été effectuée. Elle devrait aller de soi si la formule de dérivation de composition de fonctions est bien connue, mais dans le cas où ceci n'était pas clair, ces détails peuvent aider et fournissent un exemple d'utilisation de la méthode par substitution.

But : trouver une primitive de 23x+13dx, soit 23x+13dx.

Ici, la question à se poser est : qui est φ ? Il n'y a pas de recette miracle permettant de systématiquement le trouver (et parfois, plusieurs choix fonctionnent), et il faut pratiquer afin d'avoir plus de facilité à le deviner. Ici, on peut faire le choix de φx=x+1=y. On calcule également sa dérivée : dy=φx=1dx.

Maintenant, on peut remplacer tous les x (et dx), et cela nous donne la nouvelle intégrale : 23y3dy On a ici affaire à une intégration d'une fonction puissance, ce qui est trivial. La constante 23 peut être sortie de l'intégrale, et on réécrit : 23y32dy.

On a donc 23y32dy=2325y52=415y5

Il ne reste plus qu'à remplacer les y par φx et ajouter une constante réelle c : 415x+15+c, ce qui la forme des primitives recherchées.

Intégrale

But : calculer l'intégrale 0π2tcost2dt.

Comme pour l'intégration par parties, la démarche est sensiblement la même. Ici, le choix du φ est complètement évident, car on voit t2 et sa dérivée 2t. Donc, on choisit u=φt=t2, et on calcule sa dérivée : du=φt=2tdt. On peut maintenant effectuer le changement de variable et aussi des bornes d'intégration : 0 et π deviennent respectivement φ0=02=0 et φπ=π2=π.

On a alors : 0πcosudu, qui admet une primitive évidente. On peut donc calculer par le corolaire 2 du théorème fondamental : sinu0π=0-0=0

Liste de primitives

c est un nombre réel. On considère ces fonctions et primitives sur leur domaine de définition. Cette liste sera complétée avec le temps.

Pour rappel, le logarithme (naturel) est défini par : log x = 1 x 1 t dt .

Primitives de base

Ces primitives peuvent être immédiatement déduites des formules de dérivées correspondantes et ne nécesitent pas vraiment de démonstration particulière. Dans le cas du logarithme, il s'agit simplement de sa définition (comme elle est considérée comme une fonction élémentaire au même titre que les fonctions trigonométriques, elle est mise dans cette liste et non celle des fonctions spéciales).

Grâce à la linéarité de l'intégration, les fonctions qui sont des combinaisons linéaires (sommes et produits par des scalaires) de celles de cette liste ont également des primitives triviales. On peut citer les polynômes comme exemple.

Autres primitives

De la liste précédente, et à l'aide des outils d'intégration, on peut trouver des primitives supplémentaires :

Fonctions spéciales

Enfin, il existe des primitives qui ne peuvent pas s'exprimer par des fonctions simples connues. Dans ces cas, on leur a parfois donné des noms. Voici une liste de la définition de quelques fonctions spéciales qui sont de telles primitives, avec une courte description de leur intérêt. Beaucoup d'entre elles sont définies par ce qu'on appelle des intégrales impropres, nous n'allons pas traiter ce sujet ici.

Démonstrations des primitives

Pour montrer qu'on a bien une liste de primitives, il suffit de les dériver, et on retombe sur la fonction de base. Ainsi, cette section propose plutôt de montrer comment on a trouvé ces primitives sans les connaitre au départ, et donne aussi quelques exemples.

Primitives de base

Comme mentionné avant, elles sont évidentes ; il suffit de prendre les formules de dérivation correspondantes et de deviner une primitive qui, dérivée, donne la fonction de départ. Nous allons tout de même démontrer les dérivées de la tangente et des fonctions trigonométriques réciproques.

Dérivée de la tangente

Avec la définition de la tangente et de la dérivation d'un quotient de fonction, on obtient tan=sincos=sincos-sincoscos2=cos2+sin2cos2. On peut maintenant soit simplifier avec le cosinus carré pour avoir 1+tan2, soit utiliser l'identité trigonométrique sin 2 x + cos 2 x = 1 pour obtenir 1cos2=sec2.

Dérivée de l'arcsinus et de l'arccosinus

Avec la dérivée de la réciproque d'une fonction, on a : arcsinx=1sinarcsinx=1cosarcsinx. En utilisant l'identité trigonométrique sin 2 x + cos 2 x = 1 , on obtient : 11-sin2arcsinx=11-x2.

La procédure est sensiblement identique pour l'arccosinus.

Dérivée de l'arctangente

La procédure est également similaire : arctanx=1tanarctanx=1sec2arctanx.

On utilisera juste une autre identité trigonométrique ici : sec2=1+tan2. On a donc maintenant : 11+tan2arctanx=11+x2.

Autres primitives

Primitive du produit d'une puissance et de l'exponentielle

x n e x dx = k = 0 n -1 n - k n ! k ! x k e x + c

Pour montrer la formule générale, commençons par observer les premiers cas. Le cas n=0 est évident, c'est la fonction exponentielle elle-même, et la formule donne bien ce qu'on souhaite. Pour le cas n=1, sa démonstration est le premier exemple donné plus haut pour l'intégration par parties, et la formule est également bien valide. Pour montrer le cas n=2, la procédure est en réalité similaire au cas n=1, mais il faut utiliser deux fois l'intégration par parties. Et ainsi de suite : pour le cas général, il faudrait faire n intégrations par parties. Pour les premiers cas, on obtient les primitives :

En observant ces primitives, on s'aperçoit qu'il s'agit toujours d'une multiplication d'un polynôme par la fonction exponentielle. Si on analyse ces polynômes, on s'aperçoit (en regardant du degré le plus petit au degré le plus grand) qu'il semble que les coefficients sont donnés par n! divisé par 0!, puis 1!, puis 2! et ainsi de suite, avec les signes qui alternent. Ceci nous permet de construire cette formule. Maintenant, il reste à montrer qu'elle est vraie pour tout n naturel, ce qui se fait par un raisonnement par récurrence.

Le pas initial a déjà été montré (cas trivial n=0), et il nous reste le pas de récurrence : supposons donc la formule générale vraie pour tout n naturel, et montrons qu'elle implique sa validité également pour n+1. On va intégrer par parties le cas n+1 :

xn+1exdx=xn+1ex-n+1xnexdx

On peut ici utiliser l'hypothèse de récurrence pour remplacer la toute dernière intégrale. En effectuant des manipulations simples sur la somme, on conclut que la formule est bien vraie pour tout n naturel par le raisonnement par récurrence.

Généralisations

Avec un peu de réflexion, il est possible de généraliser cette intégration pour des puissances de degré 1 de l'exponentielle ; cela donne la formule suivante (a et b sont des nombres réels, a est non nul) :

x n e a x + b dx = k = 0 n -1 n - k n ! k ! a k - n - 1 x k e a x + b + c

Pour les petites valeurs de n, on peut tout à fait utiliser l'intégration par parties exactement comme dans le cas specifique a=1 ; b=0 étudié plus haut. La formule peut alors servir comme vérification d'une réponse.

Une formule générale pour le cas où on remplace x par un polynôme de degré 1 est plus laborieuse à trouver, mais ceci devrait également être possible sans trop de difficulté en utilisant la formule du binôme, puisqu'on se retrouvera avec une combinaison linéaire d'intégrales qui se ramènent aux cas déjà vus précédemment. Ceci peut être un exercice amusant si cela vous intéresse (mais la formule générale sera certainement très longue ; il y aura en tout cas deux sommes imbriquées).

Par contre, il n'est pas si évident d'étendre le cas pour n réel, rationnel, ou entier relatif : exprimer leurs primitives nécessite l'utilisation de fonctions spéciales.

Fonction gamma

Pour le cas spécifique a=-1 ; b=0 de la dernière formule, et en généralisant n dans les nombres réels, la fonction spéciale gamma est définie par l'intégrale impropre suivante (x est un nombre réel ou même complexe, mais pas entier négatif ni nul) :

Γ x = 0 +∞ t x - 1 e - t dt

Cette fonction est très utilisée justement pour généraliser des cas de n naturel vers n réel ou complexe dans beaucoup d'énoncés. On peut également la voir comme une factorielle généralisée (mais décalée d'une unité), car Γx+1=x! et Γx+1=xΓx.